Ein alternativer Zugang zur Speziellen Relativitätstheorie

Beim Unterrichten der speziellen Relativitätstheorie beginnen wir üblicherweise mit der Diskussion über das Scheitern des Michelson-Morley-Experiments. Fitzgerald's Hypothese, die Lorentz ausarbeitete, war, dass alle Körper in Bewegungsrichtung verkürzt sein sollten. Lorentz führte die Kontraktion auf spezielle molekulare Kräfte zurück. Anders der Vorschlag Einsteins. Die Annahme, die er machte, läßt sich in ein Axiom fassen.

Axiom:
Die Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum hat in allen Bezugssystemen den gleich Wert und ist unabhängig von der Bewegung des emittierenden Körpers.

Dieses Axiom macht die Newton-Mechanik zur speziellen Relativitästheorie. Mit seiner Hilfe konnte Einstein einen wichtigen Satz beweisen:

Satz:
Masse und Energie eines Körpers sind lediglich zwei verschiedene Wörter für die selbe physikalische Größe.¹

In eine Formel gefasst, hat dieser Satz folgende Gestalt:

Im Karlsruher Physik Kurs ² vertauschen Axiom und Satz ihre Plätze. Der Satz - Energie und Masse sind die gleiche physikalische Größe - wird zum Axiom, das die Newtonsche Mechanik zur Einsteinschen Speziellen Relativitätstheorie macht und das ursprüngliche Axiom - die Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum hat in allen Bezugssystemen den gleichen Wert, unabhängig von der Bewegung des emittierenden Körpers - wird zu einem Satz. Für Mathematiker ist das Austauschen von Axiom und Satz nicht unüblich. Grund für für einen Platztausch eines Axioms und eines Satzes wäre z.B. ein sich aus dem Tausch ergebendes leichteres Verständnis des Problems. Dieser Aufsatz will zeigen, dass die Spezielle Relativitätstheorie leichter zugänglich wird und viele wichtige Ergebnisse sehr schnell und einfach gefunden werden können, wenn man an den Anfang das Axiom - Masse und Energie sind die gleiche physikalische Größe - stellt.

Formel (i) wird oft mißverstanden. Viele meinen, Energie könne in Masse und umgekehrt, Masse könne in Energie umgewandelt werden. Ein solches Verständnis der Formel führt zu Irrtümmern, wenn man sie auf das gleiche System anwendet. Denn es würde bedeuten, Energie könne auf Kosten der Masse und umgekehrt , Masse könne auf Kosten der Energie zunehmen. Dies jedoch ist nicht richtig. Vielmehr sind Masse und Energie nur verschiedene Wörter für die gleiche physikalische Größe und der Faktor c² in Formel (i) rechnet die Einheit Kilogramm (kg) in Joule (J) um, mehr nicht. Es wäre deshalb auch besser Formel (i) so zu schreiben:

Die Tatsache, dass

eine Geschwindigkeit ist, die eine bestimmet Rolle in der Einsteinschen Relativitätstheorie spielt wird später offenkundig. In der Schule sollte man tatsächlich Formel (i') benutzen. Um Zeit und Platz zu sparen, wollen wir hier jedoch Formel (i) verwenden.

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Zur Beschreibung von Vorgängen spielen in der Newton-Mechanik Begriffe wie Bahn, Geschwindigkeit, Masse und Kraft eine wesentliche Rolle. Impuls und Energie treten lediglich als mathematische Hilfsgrößen auf, die das Rechnen erleichtern. Im Gegensatz dazu baut der Karlsruher Physik Kurs auf Größen auf, die auch Basisgrößen in der Quantenmechanik sind. Diese Größen haben eines gemeinsam, man kann sie sich als einen Art "Stoff" vorstellen. Dies ist auch der Grund dafür, dass man sie menegenartig nennt [3]. Man kann sich vorstellen, dass sie in einem physikalischen System gespeichert werden können, dass sie aus einem System herausgeholt und in ein anderes System wieder hinneingesteckt werden können. Mengenartige Größen können Ströme bilden. Der Impuls p und die Energie E, sind solche mengenartige Größen. Ihre Ströme werden gewöhnlich Kraft F und Leistung P genannt; wir ziehen die Bezeichnungen "Impulsstrom" der "Kraft" und "Energiestrom" der "Leistung" vor. Denn die Bilder, die durch diese Namen in unserer Vorstellung erzeugt werden, sind praktischer, als die, die von den traditionellen Namen erzeugten.
Wir zeigen eine kurze Zusammenstellung der Regeln, die ein Schüler kennen sollte, um dem weiteren Kurs folgen zu können.

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In unserem Aufsatz verwenden wir die Software Powersim^(TM)[5]. Der große Vorteil von Modellbildungssystemen wie Powersim und anderen wie etwa Stella [6] besteht darin, dass man beim Editieren der Modelle grafische Symbole benutzen kann. Ein weiterer Vorteil ist der, dass Fluß-Symbole von Powersim⁶ die Vorstellung von mengenartigen Größen geradezu nahelegt und umgekehrt, dass die Vorstellung von menegartigen Größen das Modellieren erleichtert.
 
 

Abbildung 1: Einige Powersimsymbole

Das Modell (Abb. 1) zeigt das Symbol einer Zustandsgröße. Es repräsentiert eine Grö&szlige X z.B. den Impuls p. Ein Pfeil zeigt aus einer Wolke in das Symbol der Zustandsgröße. Wenn X der Impuls p ist, dann gibt es einen Impulsstrom und Impuls wird angehäuft. Die Tatsache, dass der Pfeil aus einer Wolke zeigt, bedeutet, dass nicht näher angegeben ist, woher der Impulsstrom kommt; allgemein stellt es die Grenzen des betrachteten Systems dar. Das Modell in Abb1. ist die grafische Umsetzung einer Iterationsschleife, die beim Abarbeiten des Modells, für den Programmbediener unbeachtet, im Hintergrund abläuft:

Die Schleife wird von t₁ bis t₂ mit einem Zeitschritt Dt ausgeführt. Der Startwert der Größe 'X', das ist 'X_alt' für den ersten Durchlauf der Schleife, und der Zeitschritt Dt können vom Bediener des Programms frei gewählt werden. Die Iterationsschleife wird dann automatisch abgearbeitet.
Ein großer Vorteil eines Modellbildungsprogramms ist der, dass I_X(t) nicht konstant zu sein braucht.
Wenn Schülerinnen und Schüler anfangen, mit Modellbildungssystemen zu arbeiten, sollten bis sie mit solchen Systemen vertraut geworden sind, sehr einfache Modelle ausgewählt werden.

Ein sehr einfaches Beispiel ist der Freie Fall eines Körpers. Abb.2 zeigt einen an einem Galgen hängenden Stein. Die Feder ist gespannt. Demnach strömt Impuls aus dem Stein durch die Feder. Da sich nichts bewegt, wird auch nirgends Impuls anghäuft. Impuls fließt aus dem Stein, aber der Stein bleibt in Ruhe, ein Impulsstrom von gleicher Stärke zeigt also in den Stein. Sein Wert ist

Dabei ist 'g' der Ortsfaktor. Durchtrennen wir die Verbindung zwischen Stein und Feder, kann der Impuls aus dem Stein nicht mehr abfließen, er wird in ihm angehäuft, der Stein fällt zur Erde. Unter Verwendung der Gleichungen (ii), (iii) und (v) findet man, dass die Geschwindigkeit linear anwächst. Dies kann mit Hilfe der üblichen Experimente nachgewiesen werden.
 
 

Abbildung 2: Impuls fließt durch das Gravitationsfeld in den Stein und durch das Gestänge zurück zur Erde.
 
 

Abbildung 3: Ansicht des Modells: Freier Fall in einer Powersim-Applikation; Diagramm (links), Gleichungen (rechts).

Abb. 3 zeigt in einem Powersim-Applikationsfenster zwei Ansichten des Modells 'Freier Fall'. Jede Ansicht in einem kleinerem Extra-Fenster. Das linke, das sogenannte Flußdiagramm, zeigt unter Verwendung graphischer Symbole die Modellstruktur. Die Masse 'm' und die Beschleinigung 'g' sind als Konstanten und die Geschwindigkeit als Variable definiert. Konstanten sind an der Rhombusform erkennbar, Variable sind als Kreise dargestellt. Die gekrümmten Pfeile vom Massen-Symbol zum Geschwindigkeits-Symbol bzw. vom Impuls-Symbol zum Geschwindigkeits-Symbol repräsentieren die Verknüpfung zischen den Größen. So ist die Geschwindigkeit 'v' festgelegt durch:

Der Impuls muß initialisiert, ihm also ein Startwert zugewiesen werden. In unserem Modell haben wir den Startwert auf 0 Hy gesetzt, demnach ist der Körper zu Beginn der Simulation in Ruhe. Die Impulsstromstärke ist 10 N und die Masse 2 kg. Abb. 4 zeigt das Siumulations-Setup, das ist: Start-Zeit Stop-Zeit und Zeit-Schritt. Die Iteration wird als numerische Integration ausgeführt. In unserem Modell wurde als numerische Integrationsmethode Runge-Kutta mit variablem Schritt gewählt. ⁷

Abbildung 4: Simulations-Setup.
 
 

Abbildung 5: p-t-Diagramm (links) und v-t-Diagramm (rechts).

Mit Powersim kann man alle Zeit- und Phasendiagramme sowie Zeittabelle für alle im Modell vorkommenden Größen darstellen lassen. In Abb. 5 sieht man die p-t- und v-t- Diagramme für zwei unterschiedliche Massen. Wie erwartet sind die Schaubilder Ursprungsgeraden und im Falle des v-t-Diagramms fallen beide Schaubilder zusammen. Wir erkennen, dass das Anhäufen von Impuls zu einem Anstieg der Geschwindigkeit führt. Oder in anderen Worten: Der Anstieg der Geschwindigkeit zeigt die Zunahme des Impulses an. Das ist ganz anders in der der Einsteinschen Relativitätstheorie. Wie wir noch sehen werden, kann sich in einem Körper Impuls anhäufen, ohne dass dabei die Geschwindigkeit zunimmt.

Abb. 6 zeigt ein abgeändertes Flußdiagramm. Die Energie wurde als Variable hinzugefügt. Das Ergebnis der Simulation zeigt die Abb. 7. Die Energie hat den Startwert 0 J und der Energiestrom ist durch P = v ^. F gegeben . E ist nicht die gesamte Enregie, sondern nur ein Teil von ihr, die kinetische Energie.

Das Ergebnis der Simulation ist in einem Phasendiagramm (Abb. 7) dargestellt. Man erkennt, wie die im Körper gepeicherte Energie vom Impuls des Körpers abhängt. Es wird deutlich, dass die Kurve, eine Parabel, die bekannte Formel

repräsentiert. Mit Hilfe der von Powersim erstellten Zeittabelle läßt sich dies auch überprüfen (siehe dazu Abb. 7)
 
 

Abbildung 6: Flußdiagramm - Freier Fall eines Körpers auf der Erdoberfläche. Powersim unterscheidet nicht zwischen Klein- und Großbuchstaben, deshalb wird der Energiestrom mit I_E anstelle von P bezeichnet.
 
 

Abbildung 7: E-p-Diagramm (links). Die Zeittafel zeigt die letzten 10 Schritte der Iterationsschleife. Die 'check'-Spalte enthält den Ausdruck p²/(2m) (rechts).

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Unterrichtet man die spezielle Relativitätstheorie in der Schule, so kann man auf keine experimentelle Bestätigung zurückgreifen. Deshalb stellt das Computer unterstützte Modellieren eine echte Alternative dar. Wir wähen den Freien Fall eines Körpers auf der Oberfläche eines Neutronensterns. Dafür gibt es zwei Gründe: Erstens, das Basismodell, der Freie Fall auf der Erdoberfläche ist bereits bekannt und somit braucht das Modell nur leicht modifiziert zu werden. Zweitens sind Schülerinnen und Schüern Neutronensterne, zumindest dem Namen nach, aus Science Fiction Filmen und Science Fiction Büchern bekannt. Abb. 8 zeigt das modifizierte Modell. Die Masse ist jetzt keine unabhängige Größe mehr, vielmehr hängt sie über die Gleichung

von der Energie ab. E ist nicht mehr die kinetische Energie, es ist die Gesamtenergie des Körpers. Der Startwert der Energie ist seine Ruhenergie, also die Energie, die er besitzt, wenn sein Impuls den Wert 0 Hy hat; wir nennen sie: E₀. In unserem Modell ist sie auf E₀ = 9·10¹³ J (d.h. m₀ = 1 g) gesetzt. Der Ortsfaktor erhält den Wert g = 10¹² N/kg.

Abbildung 8: Flußdiagramm - Freier Fall eines Körpers auf der Oberfläche eines Neutronensterns

Das Ergebnis der Simulation⁸ (vgl. dazu Abb.9) zeigt, dass c die größte Geschwindigkeit ist, die ein Körper erreichen kann, oder besser: c ist eine Grenzgeschwindigkeit für alle Energie-Impuls Transporte. In Abb. 9 sind die v-t- und m-t-Diagramme für die Ruhenergie E₀= 9·10¹³ J (= 1 g) bzw. E₀ = 18·10¹³ J (= 2 g) dargestellt. Zu Beginn des Freien Falls zeigt sich die Anhäufung des Impulses in einer Zunahme der Geschwindigkeit, während die Masse des Körpers sich praktisch nicht ändert. Das lineare Wachstum der Geschwindigkeit am Anfang steht für die Newtonschen Grenzfall. Später, wenn die Grenzgeschwindigkeit fast erreicht ist, strömen immer noch Impuls und Energie in den Körper. Wegen p = m · v verursacht die Zunahme des Impulses nunmehr ein Anwachsen der Masse (= Energie) des Körpers. Wenn die Grenzgeschwindigkeit nahezu erreicht ist, steht die Zunahme der Masse für die 'hoch relativistische Mechanik'. Abb. 9 belegt dies. Nähert sich v dem Wert von c, wächst m über alle Grenzen⁹. Diese Aussage ist aber unabhängig vom Bezugssystem.

Abbildung 9: v-t- und m-t-Diagramme zweier frei fallender Körper auf der Oberfläche eines Neutronensterns

Sehr interessant ist der Vergleich des E-p-Phasendiagramms, wie es in Abb. 10 (rechts) dargestellt ist mit Abb. 7 (links): Bei sehr kleinen Impulswerten kann das relativistische des E-p-Diagramm durch das um die Ruhenergie verschobene, nicht-relativistische E-p-Diagramm angenähert werden. (Vgl. dazu Abb. 11.)
 
 

Abbildung 10: m-v- Diagramm (links) und E-p-Diagramm (rechts)
 
 

Abbildung 11: nicht-ralativistisches und relativistisches E-p- Diagramm

Mit Zunahme des Impulses nähern sich alle Kurven der Asymptote E = c · p [8]. Für Teilchen, die nur bei der Geschwindigkeit c existieren gilt die Gleichung E = c · p exakt. Photonen sind solche Teilchen. Energie und Impuls sind durch ihre Frequenzen¹⁰. festgelegt, c ist als die Lichtgeschwindigkeit. Wir haben somit gezeigt, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen den gleichen Wert hat.

Abbildung 12: E-p-Diagramme für die Ruhmassen 1 g und 2 g. Die Asymptote wurde hinzugefügt.

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